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Una introducción a la teoría del matemático Ruffini

      

Las matemáticas son una ciencia y una disciplina sumamente necesaria en todos los ámbitos de la vida. A través de ellas, el ser humano ha podido comprender diferentes fenómenos que ocurren en el mundo y a pensar de una manera lógica para la resolución de problemas. A lo largo de la historia, se han desarrollado diversas teorías matemáticas que intentan explicar diferentes problemas. Una de las más reconocidas es la teoría del matemático Paolo Ruffini, que permite a través de una regla dividir un polinomio por un binomio de la forma x – r.

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Paolo Ruffini fue un matemático, filósofo y médico italiano
. Nacido en Italia en 1765, era un amante del conocimiento desde muy joven, y cuando ingresó a la universidad, se interesó por variadas disciplinas, cursando estudios en varias carreras. En la actualidad es reconocido como una de los más grandes matemáticos de la historia, quien descubrió una regla que porta su nombre, método que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x – r.

La regla de Ruffini es en el mundo de las matemáticas un clásico, pero esta no fue su más grande contribución en la disciplina, ya que además elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, teoría que luego fue continuada y mejorada por Niels Henrik Abel.

El aporte de Ruffini a las matemáticas es invaluable. Si bien en su época fue reconocido y perteneció a diferentes agrupaciones e incluso fue Presidente del Instituto Italiano de las Ciencias, ha pasado a la historia por la creación de su famosa regla.

Un hombre de ciencias

Todo indicaba que de joven, Paolo iba a estudiar una carrera religiosa, pero al mudarse su familia a Reggio, finalmente se decidió por estudiar matemáticas y también medicina, filosofía y literatura. Cuando todavía era estudiante, uno de sus profesores de cálculo fue elegido concejal, por lo cual Ruffini tomó su lugar en la universidad para dar clases. Como alumno fue brillante, y se graduó en filosofía, medicina y cirugía. Un tiempo después, consiguió su titulación en matemáticas.

Ruffini fue nombrado profesor de fundamentos de análisis y luego catedrático de Elementos de Matemáticas, donde profundizó sus habilidades matemáticas. Luego de la revolución francesa, Italia se encontrar en tiempo de guerra por la presencia de Napoleón Bonaparte, quien fue ocupando varios pueblos y ciudades italianas. Ruffini se encontraba ante este complejo panorama político y tuvo que formar parte como representante en el Consejo de la nueva República Cisalpina.

Un tiempo después renunció a este cargo para volver a la enseñanza en la universidad, pero al negarse prestar juramento de lealtad, tuvo que renunciar a su cátedra. Ante estos sucesos que lo alejaron de la vida académica, Ruffini decidió dedicarse a la medicina. Se dedicó a esta disciplina hasta la caída de Napoleón y se convirtió en rector de la Universidad de Módena en el año 1814. Esta época fue muy productiva a nivel académico y profesional para Paolo, que fue además titular de cátedras de matemáticas y clínica y publicó varios trabajos de investigación.

Se dedicó con más tiempo a las matemáticas, buscando resolver problemas asociados a las ecuaciones quiticas. Se creía que estas ecuaciones podían resolverse por radicales, pero el matemático pensaba lo contrario. Así fue que publicó un texto sobre la Teoría de ecuaciones, que luego fue trabajada por Abel. Dicha teoría no fue totalmente aceptada y comprendida en su época, por lo cual muchos consideran que Ruffini fue un adelantado a su tiempo.

Paolo Ruffini fue el primer matemático que pudo definir el concepto de orden de un elemento, conjugación, descomposición en ciclos disjuntos. Consideró además los subgrupos primitivos e imprimitivos de permutaciones. Demostró el teorema de que el orden de una permutación es el mínimo común múltiplos de las longitudes de sus ciclos disjuntos. Por estos hallazgos, entre otros, es considerado actualmente una mente brillante, aunque en su época fue ignorado por gran parte de sus colegas matemáticos.


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La famosa regla de Ruffini

Ruffini alcanzó numerosos logros desde el plano intelectual y académico, pero hoy en día es recordado en la esfera matemática por la creación de la llamada Regla de Ruffini, una técnica muy eficaz que permite dividir un polinomio por un binomio de la forma x – r. Es un caso de división sintética cuando el divisor es un factor lineal.

Este método fue abordado más tarde por William George Horner, quien indagó sobre esta técnica, lo que inspiró a otros matemáticos a reconsiderarla y verla como una excelente herramienta para la división de polinomios, dado que facilita el cálculo y permite además  localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma  (siendo r un número entero) si es coherente.

Esta regla se utiliza para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor y permite obtener soluciones enteras. A través de ella podemos dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x – r; factorizar polinomios de tercer grado o mayor y calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3.

Método para resolver la regla

La regla de Ruffini es un algoritmo que nos permite obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x – r. Proponemos un ejemplo sencillo de un polinomio y un binomio para ilustrar cómo funciona esta regla.

Tenemos el siguiente polinomio, que será nuestro DIVIDENDO:

10 x² - 5 - 3x4 + 2x³

Y el siguiente binomio, que será nuestro DIVISOR:

x + 2

Para comenzar la operación, debemos seguir los siguientes pasos:

  • Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros
  • Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea, deben estar ordenados. (En este caso sería - 3x4 + 2x³ + 10 x² + 0x - 5)
  • El divisor debemos igualarlo a cero. En nuestro caso como es un +2, se cambia por un contrario (-2), este término irá colocado abajo a la izquierda
  • Se debe trazar una raya y comenzar las operaciones

El cuadro debe quedar así:

El siguiente paso es multiplicar el primer coeficiente por el divisor. En este caso es: -2 X -3 =6. El resultado lo ponemos en la columna de al lado. Con el siguiente repetimos el procedimiento  y reducimos las columnas al máximo. El resultado debería quedar así:


De esta operación extraemos el denominado Cociente y el Resto:

Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

Resto: -29

Esta es una simple explicación de cómo aplicar la regla de Ruffini. En este caso el divisor es un binomio de la forma más simple x – r. Si bien hay quienes aseguran que solo sirve para este tipo de ecuaciones, hay otras personas que usan el método con divisores más complejos.

Sin dudas es una reglar muy efectiva y ha representado un gran aporte para la disciplina matemática y su evolución como ciencia. Para que comprendas más sobre cómo se aplica esta regla en diversos polinomios, te dejamos un video ilustrativo.






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